Sean
-ABCD un cuadrado de lado n.
-P un punto de su lado AB.
-PQRS un cuadrado inscrito en el cuadrado ABCD:
Determinar la posición del punto P de modo que el área del cuadrado PQRS sea la menor posible.
Solucion:
Sea la distancia entre A y P nuestra variable x.
como nuestro cuadrado mide 9 por lado, entoces la otra distancia, entre P y B vale 9-x.
Si nos damos cuenta, se forma un triángulo rectángulo con los segmentos AP, PS y AS, con hipotenusa en PS (al igual que los otros segmentos).
entonces, para sacar el área del cuadrado interno debemos saber el valor de su lado (hipotenusa), pero sólo conocemos el valor de los otros segmentos (catetos). Entonces hacemos la relación:
PS^2 = AP^2+AS^2 (reemplazamos valores)
PS^2 = x^2 + (9-x)^2 (resolvemos)
PS^2 = 2x^2-18x+81 (despejamos PS)
PS = √(2x^2-18x+81)
y obtenemos el valor de PS (hipotenusa).
Ahora, para sacar el valor del área hay que volver un poco atrás, a PS^2:
PS^2 = 2x^2-18x+81
Luego, graficamos esta función y nos resulta una parábola abierta hacia arriba, en cuyo caso, el punto más bajo de ella (vértice) es nuestra solución (el área más pequeña), y eso sucede cuando x vale 4,5.
