Tarea 3

Un área mínima

Sean
-ABCD un cuadrado de lado n.
-P un punto de su lado AB.
-PQRS un cuadrado inscrito en el cuadrado ABCD:

Determinar la posición del punto P de modo que el área del cuadrado PQRS sea la menor posible.


Solucion:

Sea la distancia entre A y P nuestra variable x.
como nuestro cuadrado mide 9 por lado, entoces la otra distancia, entre P y B vale 9-x.
Si nos damos cuenta, se forma un triángulo rectángulo con los segmentos AP, PS y AS, con hipotenusa en PS (al igual que los otros segmentos).
entonces, para sacar el área del cuadrado interno debemos saber el valor de su lado (hipotenusa), pero sólo conocemos el valor de los otros segmentos (catetos). Entonces hacemos la relación:

PS^2 = AP^2+AS^2 (reemplazamos valores)
PS^2 = x^2 + (9-x)^2 (resolvemos)
PS^2 = 2x^2-18x+81 (despejamos PS)
PS = √(2x^2-18x+81)

y obtenemos el valor de PS (hipotenusa).

Ahora, para sacar el valor del área hay que volver un poco atrás, a PS^2:

PS^2 = 2x^2-18x+81

Luego, graficamos esta función y nos resulta una parábola abierta hacia arriba, en cuyo caso, el punto más bajo de ella (vértice) es nuestra solución (el área más pequeña), y eso sucede cuando x vale 4,5.

Ejercicio a realizar: N° 2

Determinar las dimensiones del rectángulo de mayor área que se puede inscribir en un circulo de radio r.

Respuesta:

Para encontrar el rectángulo de mayor área tenemos que:



En donde c es la diagonal del rectángulo inscrito en el círculo.
Luego, la función a encontrar el máximo es:
a * b
que representa el área del rectángulo.
Pero no conocemos el valor de las variables a y b. Lo único que conocemos es el valor de c, que en este caso es también el diámetro del círculo, e hipotenusa del triángulo rectángulo que se forma, por lo que el valor de c es dos veces el radio de la circunferencia (2r). Entonces:



En donde los valores de a y b dependen del ángulo x, usando trigonometría:

a = c*sen(x)
b = c*cos(x)

Por lo que nuestra función inicial ha cambiado a:

a*b = (c*sen(x))*(c*cos(x)) = c^2*(sen(x)*cos(x)) = (4*r^2)*(sen(x)*cos(x))


Ahora, tomando un caso, con r=1, graficamos:



Por inspección del gráfico, tenemos que el valor máximo de nuestra función es en pi/4, lo que corresponde a 45 grados. por lo que:

a = c*sen(45) = c*0,707
b = c*cos(45) = c*0,707

Es decir: a y b son iguales.

En conclusión tenemos que el rectángulo de mayor área que se puede inscribir en un círculo es en sí un cuadrado, y su área corresponde a:

(4*r^2)*(sen(45)*cos(45))

Primera parte tarea 1

1) Sea n el número de su grupo. Dada la función y = f(x) = (nx)/(x+n).

1. Sustituir el valor de su grupo en la función dada. Llamar y=g(x) a la función de su grupo. Por ejemplo si su grupo es el 03, la función de su grupo sería y = g(x) = (3x)/(x+3).

2. Determinar dom(g).
   
3. Calcular y simplificar la expresión g(2x) − 2g(x).

RESPUESTA:

1a) Dada la funcion f(x)= nx/(x+n) ; n=9.
g(x)=9x/(x+9)

2a) dom(g)
9x/(x+9) => x+9=0 => x=-9

dom(g)= para todo x que pertenesca a los reales(R) esepto {-9}

3a) calcular y simplificar g(2x)-2g(x)

[ 9(2x)/(2x+9)] - [2*(9x/(x-9))]
= [18x/2x+9] - [18x/(x-9)]
=[(18x(x+9))-(18(2x+9))] / [(2x+9)(x+9)]
=[primera18x^2+162-(36x^2+162)] / [(2x+9)(x+9)]
=[18x^2+162-36x^2-162] / [(2x+9)(x+9)]
=[18x^2-36x^2] / [(2x+9)(x+9)]

[-18x^2] / [(2x+9)(x+9)]

Segunda parte tarea 1

# Dada la función y=h(x), cuyo gráfico es







Por inspección del gráfico de y = h(x),

a. Calcular, aproximadamente, n*h(n/2) − 3h(-n/3).
b. Determinar, aproximadamente, la(s) preimagenes de n/2.


2a) n*h(n/2) − 3h(-n/3) n=9;

[9*h(9/2)] - [3h(-9/3)]
=[9h(4,5)] - [3h(-3)]
h(4,5)=-5 h(-3)= 2
=(9*-5) - (3*2)
=-45 - 6

= -51


2b) preimagenes de n/2.

h(9/2)
=h(4,5)= 3,75

Integrantes

- Nicole Álvarez
- Ing. Civ. Industrial

- Angelo Cabrera
- Ing. Civ. en Computación

- César Césped
- Ing. Civ. en Computación

- Manuel Hoffhein
- Ing. Civ. en Computación

- Daniel López
- Ing. Civ. en Computación