Ejercicio a realizar: N° 2

Determinar las dimensiones del rectángulo de mayor área que se puede inscribir en un circulo de radio r.

Respuesta:

Para encontrar el rectángulo de mayor área tenemos que:



En donde c es la diagonal del rectángulo inscrito en el círculo.
Luego, la función a encontrar el máximo es:
a * b
que representa el área del rectángulo.
Pero no conocemos el valor de las variables a y b. Lo único que conocemos es el valor de c, que en este caso es también el diámetro del círculo, e hipotenusa del triángulo rectángulo que se forma, por lo que el valor de c es dos veces el radio de la circunferencia (2r). Entonces:



En donde los valores de a y b dependen del ángulo x, usando trigonometría:

a = c*sen(x)
b = c*cos(x)

Por lo que nuestra función inicial ha cambiado a:

a*b = (c*sen(x))*(c*cos(x)) = c^2*(sen(x)*cos(x)) = (4*r^2)*(sen(x)*cos(x))


Ahora, tomando un caso, con r=1, graficamos:



Por inspección del gráfico, tenemos que el valor máximo de nuestra función es en pi/4, lo que corresponde a 45 grados. por lo que:

a = c*sen(45) = c*0,707
b = c*cos(45) = c*0,707

Es decir: a y b son iguales.

En conclusión tenemos que el rectángulo de mayor área que se puede inscribir en un círculo es en sí un cuadrado, y su área corresponde a:

(4*r^2)*(sen(45)*cos(45))